Regiomontanus és naptáblája

2879

1436. június 6-án az alsó-frankoniai (bajor) Königsberg város melletti Unfinden nevű kis falu német nyelvű molnárának fia született. Így lett a gyerek neve königsbergi Johannes Müller, amit később Regiomontanus-ra latinosítottak, mi meg Királyhegyi Molnár Jánosként is emlegethetnénk.

11 évesen kezdett Lipcsében matematikát és csillagászatot tanulni, majd ezt a bécsi egyetemen Georg Peuerbachnál folytatta. 1452-ben első fokú minősítést szerzett, 1457-ben 21 éves korában már magiszterként előadásokat is tartott. Bécsből Bessarion niceai bíborossal 1461 végén Olaszországba utazott, akitől ott görög kéziratokat kapott ajándékba, s így becses könyvek birtokában tanult görögül. 1464-ben Páduában előadást is tartott Alfraganusz munkásságáról. Az akkori csillagászat alapjának, Ptolemaiosz kézikönyvének latin nyelvre való lefordítása és a kör négyszögesítésére vonatkozó vizsgálatai kapcsán sok humanista kortársával került közeli kapcsolatba. Ptolemaiosz fordítását is több alkalommal kiadták, Kopernikusz és Galilei ezeket tankönyvként használta. A bolygók megfigyeléséből megállapította, hogy az a világkép, amely az ókorból fennmaradt, nem felel meg a valóságnak.

Ebben az időben Janusz Pannoniusz (1434–1472) Itáliában Mátyás király illetve Vitéz János (1400 k. – 1472; csillagászattal is foglalkozó humanista tudós, 1445–65 között nagyváradi püspök, 1465–72 közt esztergomi érsek és hercegprímás) megbízásából keresett professzorokat a Pozsonyban alapítandó Academia Istropolitana számára. Janusz Pannoniusz hívására Ilkus Márton és Regiomontanus 1467-ben elfogadták a meghívást. [Ilkus eredeti nevén Marcin Bylica z Olkusza, 1433-ban született Lengyelországban, 1463-ban csillagászatot tanított a padovai egyetemen. 1468-ban görzi főesperes és zágrábi kanonok lett, 1472-ben Budán plébános, s a teológia, valamint „a tudományok tanára”, királyi asztrológus. 1480-ban a budai dominikánus kolostorban tanított Ilkus és itt dolgozott Hans Dorn, a neves műszerkészítő mester is. Mátyás halála után II. Ulászló fogadta szolgálatába Ilkus Mártont, s a tudós egészen haláláig, 1493-ig Magyarországon tartózkodott. Ilkus, vagy maga a király által a krakkói egyetemnek ajándékozott műszerek (a Dorn-féle 1480. évi égi glóbusz, az 1486-os asztrolabium, a ma már nem egészen teljes torquetum, a Bécsben ismeretes napóra és deklinációs iránytű meg egyebek) eredete is Regiomontanus-ra vezethető vissza.]

Regiomontanus a középkori hét szabad művészet legmagasabb fokát, a quadrivium tantárgyait (számtan, mértan, csillagászat és zeneelmélet) tanította II. Pál pápa engedélyével Academia Istropolitana néven 1467. július 20-án megnyitott pozsonyi egyetemen. Amikor ideérkezett, megbízták horoszkópok kiszámítására és magyarázatára való pontos csillagászati táblázatok készítésével is, amivel hamarosan végzett. Ezt a Tabulae directionum című művét már 1467-ben Vitéz Jánosnak ajánlotta. A Tabula primi mobilis-t Mátyás királynak ajánlotta, akárcsak a Regula Ptolemaei-ről írt művét.

E munkák gerincét tizenhat táblázat alkotja, amelyek a horoszkópok felállításával kapcsolatosan a bolygók mozgásának, együttállásainak pontos meghatározását teszik lehetővé. Összesen több, mint harminc csillagászati alapfeladat megoldását mutatják be a táblázatok használati ismertetői. (Pl.: a Zodiákuson levő vagy bármely más helyzetű bolygó vagy csillag deklinációjának meg rektaszcenziójának kiszámítása, stb.) E táblázatok nemcsak tömérdek, aprólékos számítás elvégzését igényelték, hanem ezeket megelőzően komoly elméleti megalapozásra is szükség volt, azaz Regiomontanus a korabeli térmértani ismereteket érdemben bővítette új tudományos tételekkel és módszerekkel. A táblázatok megalapozottságuk miatt már nem a középkori tudomány folytatásai, hanem egy új tudománynak az alapjai, sőt alapos körüljárásai. Mai szóhasználattal a különböző égi koordináta rendszerek közti átszámításokat, illetve a derékszögű gömbháromszögek oldalainak és szögeinek kiszámítását teszik lehetővé a képletek részletes ismertetései nélkül. A táblázatok használati útmutatói, a horoszkópok készítését segítő példák nagy pedagógiai gonddal vannak összeállítva. Sorrendjük megfelel az egymást követő, egyre nehezedő feladatok sorrendjének. A feladatok elején szinte szájbarágós alapossággal elmondja, mi az eljárás, ha a keresett érték nincs meg pontosan a táblázatban, vagyis az interpolálást is tanítja. Valamennyi példánál is lépésenként magyarázza, hogy azt hogyan kell általánosságban, utána pedig numerikusan is megoldani.

Negatív és tört számok a táblázatokban nincsenek. Ezek elkerülésére a szinuszt egy 60 000 egységű sugarú körben méri az ókori hagyományok szellemében és a 60-as számrendszert használva, így a sin 90º-nak 60 000-et megfeleltetve. Az értékek szögpercenként négy, nagyobb szögekre öt számjeggyel vannak megadva. (Regiomontanus készített olyan szinusz-táblát is, ahol már 10-es alapú számrendszert használva a sin 90°-nak 100 000 felel meg. Ezt az első, modern szinusz-táblázatot is Mátyás király udvarában, Budán, 1468-ban készítette.) A táblázatok között van a Tabula foecunda is, egy tangens-táblázat, amellyel itt találkozunk először Európában. A tangens-táblázatban fokonkénti, 5 jegyű értékek vannak, tg 45°-nak 100 000 felel meg, a szögek növekedésével már hétjegyű a táblázat.

1469-ben a torquetumról, a bolygók megfigyelésére használható műszerről szóló művét ugyancsak az érseknek ajánlotta. Regiomontanus kéziratai feltehetően Mátyás király udvarának olasz művészei által másolt szép kialakítású díszes művek nyomán készültek.

Regiomontanus Magyarországról 1471-ben Nürnbergbe költözött, csillagvizsgálót épített, ahol hosszú megfigyelés sorozattal akarta megvetni a bolygóelmélet reformjának alapjait. Ez az első olyan megfigyelés sorozat Európában, amely az adatgyűjtési körülmények (pl. az időjárás) gondos tekintetbe vétele miatt pontosságával kitűnik. Emellett saját nyomdát alapított, hogy kiadja a legfontosabb ókori és újabb matematikai és csillagászati műveket, így saját műveit is. Ezek közül különös nevezetességre és becsre tettek szert az 1475 –1531 évekre vonatkozó Nap és Hold adatok könyvei az Almanach-ok és az Ephemerides című táblázatai, melyek az 1475–1506 évek egyéb csillagászati alapadatait ismertették. E könyveket Kolumbusz és Ame-rigo Veszpuccsi is használta tengeri útjai során. Nevezetes napóráját, az Egyetemes óratáblát kifejezetten az utazók igényei szerint készítette. Kalendáriuma függelékeként ezt „Quadratum horarium generale” néven (1. ábra) nyomtatásban is közre adta és ismertette további néhány műszerének nyomtatott, papíralapú változatával együtt.

1.ábra Regiomontanus óratáblájának korabeli nyomtatott változata

Regiomontanus-t 1475-ben Rómába rendelte IV. Szixtusz pápa naptárreformja megalapoztatása érdekében, ám ő 1476. július 6-án, alig 40 évesen meghalt Rómában. Valószínűleg az akkoriban ott pusztító pestisben, de ismervén a kor szokásait, akár riválisainak is „köszönhetően”.

Regiomontanus számtalan más matematikai jellegű feladattal is foglalkozott. Vizsgálódott a diofantoszi egyenletek körében, foglalkoztatta Euklidész geometriájának algebrai lehetőségei, elemezte a Hold pályáját. Megfigyelte az 1472. évi üstököst és elsőként kísérelte meg kiszámítani annak távolságát és nagyságát. Egyik emlékezetes szélsőérték keresési feladata egyszerű, gyakorlati és közérthető: Egy terem falán lógó képet honnan kell nézni, hogy a legjobban (legnagyobb látószög alatt) lássuk?

Regiomontanus „Egyetemes óratábla” néven ismert, kb. 7×12 cm-es rézlemezbe gravírozott napóráját új, szokatlan elvre alapozta. A korábbi napórák a Nap irányszögét mérték alapadatként a helyi idő meghatározásához. A napórák szerkezeti formáját a használati hely földrajzi szélességéhez kellett illeszteni, azaz a napórák csak ott működtek pontosan, ahová szánták azokat. Utazók számára vagy más szerkezetű, vagy más elvű órák kellenek. Regiomontanus a Nap magassági szögének mérésére alapozta napóráját. Szerkezete és ennek működési elve lehetővé tette, hogy a földrajzi hely, meg a napi dátum ismeretében a helyi idő meghatározásához szükséges összefüggéseket viszonylag egyszerűen figyelembe lehessen venni azokkal való konkrét számolások nélkül. A meglehetősen összetett feladat megoldására zseniálisan kigondolt módszerét és ennek eszközét mai fogalmaink szerint az első analóg, sík-geometrikus célszámítógépként, vagy pontosabban egy négyváltozós képlet nomogrammjával egybeépített szögmérőként tisztelhetjük.

A számítóábra több részre tagolt vonalhálózataihoz és skálaosztásaikhoz egy szellemes kialakítású irányzékos szögmérő és egy többcsuklós, beállítható helyzetű karrendszer, meg ennek végére szerelt függőón tartozik, aminek zsinórján mozgatható-rögzíthető jelzőgyöngy van. Mindezt a nevezetesebb európai városok földrajzi szélességét tartalmazó táblázat egészít ki. No és természetesen a műszer használatának ismerete. A nomogramm működését a skálahálózat felépítését szemléltető 2. ábra nyomán ismerhetjük meg.

2.ábra A gravírozott változat skálaszerkezete és működési magyarázata

A szerkezet alkalmazásakor a városok feliratai alapján (vagy egyéb módon) határozzuk meg a használati hely földrajzi szélességét, majd a tetszőleges helyzetben tartott tábla (alaphelyzetében függőleges) OM tengelyének skálaosztásaihoz igazodva ennek megfelelő helyre állítsuk a csuklós kar csúcspontját, a zsinór rögzítési pontját.

Ismervén a mérés napjának dátumát, keressük meg a szerkezet felső részén lévő (vízszintes) naptárskála (Zodiákus) megfelelő osztáspontját és kövessük az ennek megfelelő helyről lefelé haladó osztásvonalat, amíg az el nem éri az előbb beállított csuklós kar csúcspontjából induló vízszintes skálavonalat. Helyezzük át a kar csúcspontját az ennek a metszéspontnak megfelelő helyre és rögzítsük ide. Ekkor a függőón zsinórja a tábla koordináta rendszerében a (φ) földrajzi szélességnek és a Nap éppen időszerű (δ) deklinációjának megfelelő pontból indulva lenghetne.

Keressük meg a (még mindég tetszőleges helyzetben tartott) szerkezet oldalsó részén lévő másik (függőleges) naptárskálán is a mérés dátumának megfelelő skálavonali pontot, majd az innen befelé induló skálavonalnak az S ponthoz tartozó, 12 óra jelzésű (függőleges) idővonallal való, R-el jelölt metszéspontját.

Állítsuk a tábla síkját olyan függőleges helyzetbe, hogy a függőón zsinórja közvetlenül a tábla előtt, de szabadon lógjon és illeszkedjen az előbb kijelölt R pontra is. Ilyen helyzetben csúsztassuk a függőón zsinórján lévő jelölőgyöngyöt az R ponthoz. Ne engedjük a zsinóron rögzített helyzetéből kimozdulni.

Ezen előkészületek után mérhetjük a Nap magassági szögét. Ehhez a tábla síkját olyan függőleges helyzetbe kell forgatni és dönteni, majd ott nyugalomban megtartani, hogy a tábla tetején lévő irányzólyukon átvilágító napsugár a tábla tetejének másik szélén lévő céltábla közepére essen, miközben a zsinór szabadon lóg közvetlenül a tábla síkja előtt.

Olvassuk le az időskála és ennek vonalhálózata alapján a jelzőgyöngy mutatta időt, ami a Nap deleléséhez igazodóan a helyi időt jelenti. A skálaosztások felirata szerint ez vagy délelőtti 0–12 óra, vagy délutáni 12–24 óra közt lehet. A választáshoz Regiomontanus nem adott útmutatást…

Kapunk viszont egy járulékos, kiegészítő szolgáltatást: könnyen meghatározhatjuk a Nap kelési és nyugvási idejét, s ezek alapján a nappal meg az éjszaka hosszát. Ehhez úgy kell tartani a táblát tetszőleges irányú függőleges síkban, hogy a függőón zsinórja párhuzamosan lógjon az óraskála (függőleges) koordináta vonalaival. Ekkor a tábla tetején lévő irányzólyuk és a céltábla közepe egy vízszintes egyenesen lesz, azaz a kelő, illetve nyugvó Nap 0 magassági szögének megfelelően. A függőón zsinórja szerint leolvasott idők ezért a Nap kelési, illetve a nyugvási idejét adják.

A szerkezet működési elvét a következők alapján ismerhetjük meg: A gömbháromszögek oldalai és szögei közti összefüggések közül (többek közt Regiomontanus-nak is köszönhetően) a Nap magassági szögét a

sin(m) = sin(φ)*sin(δ) + cos(φ)*cos(δ)*cos(τ)

képlettel számíthatjuk. Itt m a Nap magassági szöge, φ a földrajzi hely szélessége, δ a Nap évszaktól függő deklinációs szöge, τ a deleléstől mért helyi idő szöge. A képlet láthatóan szimmetrikus a szélességi és a deklinációs szög szempontjából, bár értelmezési és előfordulási tartományaik (20o < φ < 66o; illetve -24o < δ < +24o) különbözőek. Emiatt a szerkezet egyes skálarészeinek felépítése bár hasonló, de skálaosztásaik nem egyformák. Az eredeti szerkezeten 39o ≤ φ ≤ 54o és 3 fokonként számozott, jelzet skálavonalak voltak.

Az 1. ábra szerinti O pont a skálavonalak koordináta rendszerének kezdőpontja, az r = OM = OS = 1 távolságok egységnyiek, merőlegesek, és mint ilyenek, kijelölik az OM függőleges és az OS vízszintes koordináta tengelyek pozitív irányait is. A P pont a példaként felvett φ = 50o és δ = 12o (~április 21) adatokhoz tartozik. Értelmezés szerint az OQ(φ) távolságokra OQ = tg(φ), továbbá a POQ szög = ROS szög = δ  illetve az SR(δ) és QP(δ) távolságokra SR = tg(δ), és QP = tg(φ)*tg(δ). A kívánt deklinációs szög skálavonalát értéke helyett a vonatkozó dátumok és a megfelelő Zodiákusok jelei szerint lehet kiválasztani, az ábrán a skálaközök 5 naponként jelöltek, havonta feliratozottak. A tábla jobb oldali részén levő Zodiákus skála csak az egységes megjelenés és kényelmesebb használat miatt ismétli a vízszintes rész méretét és formáját, mert ennek érdemi része csak az S ponton átmenő függőleges rövid „vetületi” szakasza. A földrajzi szélesség 2,5 fokonként jelölt, 5 fokonként számozott.

Az O pont, mint középpont körül lefelé rajzolt egységnyi sugarú félkör kerületét S pontból kiindulva 1 óra = 15 fokos középponti szögtávolságonként S = 12 kezdőértékkel kell jelölni, majd ezeken az osztáspontokon keresztül párhuzamosokat kell húzni a függőleges OM tengellyel. A 0–6–12 és 12–18–24 számozású vonalak adják az időtengely skálaosztásait. (A középkor napi óraszámozási illetve a különböző napkezdési időpontokat használó gyakorlata miatt, az időtengely óraszámai az esti napnyugvástól kezdődő, vagy a hajnali napkeltéhez igazodóan más számozást is kaphattak, de a működési elv ettől függetlenül azonos.)

A POR derékszögű háromszögre felírt Püthagorasz tétel és az értelmezések nyomán kapjuk:

PR2 = OR2 + OP2 = (OS2 + SR2) + (OQ2 + QP2 )

PR2 = [1 + tg2(δ)] + [tg2(φ) + tg2(φ)*tg2(δ)].

PR2 = [1 + tg2(δ)] * [1 + tg2(φ)] = 1 / [cos2(φ)*cos2(δ)]

PR = 1 / [cos(φ)*cos(δ)]

Azzal, hogy a szerkezetet a Nap m magassági szögét mérő helyzetbe állítottuk, a függőón zsinórjának megjelölt R pontját a tábla C pontjába átállítottuk. Emiatt igaz, hogy

CPA szög = m = 90 – τ

továbbá

BC = sin(m) = sin(90 – τ) = cos(τ)

AC = PR*sin(m) = sin(m) / [cos(φ)*cos(δ)] =AB + BC

A függőón csúcspontjának beállítása és a C-hez rendelt időszög miatt

AC = tg(φ)*tg(δ) + cos(τ) = sin(m) / [cos(φ)*cos(δ)]

azaz

sin(m) = [cos(φ)*cos(δ)] * [tg(φ)*tg(δ) + cos(τ)]

ami megegyezik a Regiomontanus-nak köszönhető kiindulási képlettel.

 

Felhasznált források:

  • Zinner Ernő: Regiomontanus Magyarországon. = Matematikai és Természettudományi Értesítő, 1937. pp. 280–287.
  • Regiomontanus részletes életrajzát Ernst Zinner írta meg „kollégájáról” és honfitársáról (Zinner, 1968, Zeller, Osnabrück).
  • Vargha Domokosné: Mátyás király csillagásza. = Élet és Tudomány, 1997. 35. sz. pp. 1103–1105.
  • Barlai Katalin közleményei Mátyás kódexeiről.
  • Fer J. de Vries, Mac Oglesby, William S. Maddux, Warren Thom: Universal Card Dials with Nomograms for Babylonian, Italian, and Antique Hours – Article from Compendium, volume 5, number 4, 1998.
  • Johann Müller von Königsberg (Regiomontanus, 1436–1476) In 1474 “Quadratum horarium generale” and in a German publication “Algemeinen Uhrtafelchen”.
  • Peter Bennewitz (Apianus, 1495–1552): “Instrument Buch,” 1533.
  • Johann Stab ( ? – 1522 ): in 1512 “Horoscopion,” (In a Cristies’ catalog a third example offered for sale. Its listed price is about 300,000 British pounds. The dial 22.6 cm by 14.8 cm in size, was made by Erasmus Habermel around 1590.)
  • Klaus Hünig, Nils Rhode: Die Regiomontanus-Sonnenuhr. Astro-Media, Würzburg, 1981.

Molnár János

A Fizikai Szemle 2017/1. számában megjelent írás másodközlése, a szerző és a folyóirat hozzájárulásával

Hozzászólás

hozzászólás